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1 对周期函数进行分解的猜想

  拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为$2\pi$的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：

  而另外一位数学家：

  让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2 分解的思路

  假设$f(x)$是周期为T的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于$f(x)$？

2.1 常数项

  对于$y=C,C\in \mathbb{R}$这样的常数函数：

  根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。

  所以，分解里面得有一个常数项。

2.2 通过$sin(x),cos(x)$进行分解

  首先，$sin(x),cos(x)$是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

  其次，它们的微分和积分都很简单。   然后，$sin(x)$是奇函数，即：       $-sin(x)=sin(-x)$   从图像上也可以看出，$sin(x)$关于原点对称，是奇函数：

  而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：

      $f_{\text{odd}}\pm f_{\text{odd}}=f_{\text{odd}}$   其中，$f_{\text{odd}}$表示奇函数。   而$cos(x)$是偶函数，即：       $cos(x)=cos(-x)$   从图像上也可以看出，$cos(x)$关于$Y$轴对称，是偶函数：

  同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：

      $f_{\text{even}}\pm f_{\text{even}}=f_{\text{even}}$   其中，$f_{\text{even}}$表示偶函数。   但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：     $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}$   所以同时需要$sin(x),cos(x)$。

2.3 保证组合出来周期为T

  之前说了，$f(x)$是周期为T的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为T呢？

  比如下面这个函数的周期为$2\pi$：

  很显然，$sin(x)$的周期也是$2\pi$：

  $sin(2x)$的周期也是$2\pi$，虽然最小周期是$\pi$：

  很显然，$sin(nx),n\in \mathbb{N}$的周期都是$2\pi$：

  更一般的，如果f(x)的周期为T，那么：

    $sin(\frac{2\pi n}{T}x)cos(\frac{2\pi n}{T}x),n\in \mathbb{N}$   这些函数的周期都为T。   将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为T。

2.4 调整振幅

  现在我们有一堆周期为$2\pi$的函数了，比如说$sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)$：

  通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如$sin(x)$看起来处处都比目标函数低一些：

  把它的振幅增加一倍：

  $2sin(x)$有的地方超出去了，从周期为$2\pi$的函数中选择一个，减去一点：

  调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

2.5 小结

  综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：

    $f(x)=C+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$   这样就符合之前的分析：

• 有常数项
• 奇函数和偶函数可以组合出任意函数
• 周期为T
• 调整振幅，逼近原函数

  之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：

      $C{a}_n{b}_n$

3 $sin(x)$的另外一种表示方法

  直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：$e^{i\omega t}$？

3.1 $e^{i\omega t}$

  看到复数也不要怕，看到类似于$e^{i\theta }$这种就应该想到复平面上的一个夹角为$\theta$的向量：

  那么当$\theta$不再是常数，而是代表时间的变量t的时候：

      $e^{i\theta }\to e^{it}$   随着时间t的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来，$2\pi$秒会旋转一圈，也就是$T=2\pi$：

3.2 通过$e^{i\omega t}$表示$sin(t)$

  根据欧拉公式，有：

      $e^{it}=cos(t)+isin(t)$   所以，在时间t轴上，把$e^{it}$向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是$sin(t)$：

  在时间t轴上，把$e^{i2t}$向量的虚部记录下来，得到的就是$sin(2t)$：

  如果在时间t轴上，把$e^{it}$的实部（横坐标）记录下来，得到的就是$cos(t)$的曲线：

  更一般的我们认为，我们具有两种看待$sin(x),cos(x)$的角度：

      $e^{i\omega t}⟺\{\begin{array}{l}sin(\omega t)\\ cos(\omega t)\end{array}$   这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：

4 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

  假设有这么个函数：

      $g(x)=sin(x)+sin(2x)$   是一个$T=2\pi$的函数：

  如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：

      $e^{it}+e^{i2t}$   先看看$e^{i\theta }+e^{i2\theta }$，其中$\theta$是常数，很显然这是两个向量之和：

  现在让它们动起来，把$\theta$变成流逝的时间$t$，那么就变成了旋转的变量和：

  如果把虚部记录下来，就得到$g(x)$:

  我们令：

      $G(t)=e^{it}+e^{i2t}$   这里用大写的G来表示复数函数。   刚才看到了，$e^{it}$和$e^{i2t}$都是向量，所以上式可以写作：       $G(t)=e^{it}+e^{i2t}$   这里就是理解的重点了，从线性代数的角度：

• $e^{it}$和$e^{i2t}$是基
• $G(t)$是基$e^{it},e^{i2t}$的线性组合

  $g(t)$是$G(t)$的虚部，所以取虚部，很容易得到：

      $g(t)=sin(t)+sin(2t)$   即$g(t)$是基$sin(t),sin(2t)$的线性组合。   那么$sin(t),sin(2t)$的系数，实际上是$g(t)$在基$sin(t),sin(2t)$下的坐标了。

4.2 如何求正交基的坐标

  有了这个结论之后，我们如何求坐标？

  我们来看个例子，假设：       $w_{}=2u_{}+3v_{}$   其中$u_{}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),v_{}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$   通过点积：       $u_{}\cdot v_{}=0$   可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：

  通过点积可以算出$u_{}$的系数（对于正交基才可以这么做）：

    $\frac{w_{}\cdot u_{}}{u_{}\cdot u_{}}=\frac{(1,5)\cdot (-1,1)}{(-1,1)\cdot (-1,1)}=2$

4.3 如何求$sin(nt)$基下的坐标

  在这里抛出一个结论（可以参考无限维的希尔伯特空间），函数向量的点积是这么定义的：

    $f(x)\cdot g(x)={\int }_0^{T}f(x)g(x)dx$   其中，f(x)是函数向量，g(x)是基，T是f(x)的周期。   那么对于：       $g(x)=sin(x)+sin(2x)$   其中，$g(x)$是向量，$sin(t),sin(2t)$是基，周期$T=2\pi$。   根据刚才内积的定义：     $sin(t)\cdot sin(2t)={\int }_0^{2\pi }sin(t)sin(2t)dt=0$   所以是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标：     $\frac{g_{}\cdot sin(t)}{sin(t)\cdot sin(t)}=\frac{{\int }_0^{2\pi }g(x)sin(x)dx}{{\int }_0^{2\pi }si{n}^2(x)dx}=1$

4.4 更一般的

  对于我们之前的假设，其中f(x)周期为T：

      $f(x)=C+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$   可以改写为这样：       $f(x)=C\cdot 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$   也就是说向量f(x)的基为：        { 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) } \{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\} {

1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}   是的，1也是基。   那么可以得到：       $a_n=\frac{{\int }_0^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_0^{T}co{s}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx{b}_n=\frac{{\int }_0^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_0^{T}si{n}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx$   C也可以通过点积来表示，最终我们得到：       $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (\frac{2\pi nx}{T})+b_n\sin (\frac{2\pi nx}{T})\right)$   其中：        a n = 2 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ cos ⁡ ( 2 π n x T )   d x , n ∈ { 0 } ⋃ N b n = 2 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ sin ⁡ ( 2 π n x T )   d x , n ∈ N \displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{

{x_{0}}}^{

{x_{0}+T}}f(x)\cdot \cos({\tfrac {2\pi nx}{T}})\ dx, n\in\{0\}\bigcup\mathbb{N}\\ b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{

{x_{0}}}^{

{x_{0}+T}}f(x)\cdot \sin({\tfrac {2\pi nx}{T}})\ dx, n\in\mathbb{N} an​=T2​∫x0​x0​+T​f(x)⋅cos(T2πnx​) dx,n∈{

0}⋃Nbn​=T2​∫x0​x0​+T​f(x)⋅sin(T2πnx​) dx,n∈N

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